さつま芋 の日記

英語の勉強と算数のコラムを中心に発信していきます。復習しない勉強を目指しています。

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子供に教えたい算数 濃度

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まえがき

濃度は、小学6年で習うと思います、確か…。

計算が複雑で、文章問題になることも多いため、苦手な人はいるはず。

今回は、簡単に濃度を求める方法も紹介するので、興味のある人は下の方だけでも見てください。

とにかく答えは出せる方法なので、小学生、その保護者は必見です。

 

問題

いきなりですが、イジワルな問題です。

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4%の食塩水と8%の食塩水を混ぜたら何%の食塩水になるでしょう?

次の二つから選んでください。

 ①12% ②6%

 

説明

算数や数学が得意であれば、「出題ミスだ!」と気付くはずですが、敢えて選ぶとすれば ②6%です。

「濃度は足せないから」とか「公式を使えばいい」とか、ざっくりした説明でも構わないとは思うんですが、そこを少し掘り下げてみます。

 

濃度の公式

とりあえず公式を確認です。

   濃度[%] = \dfrac{食塩の質量}{食塩の質量+水の質量} \times 100

   濃度[%] = \dfrac{食塩の質量}{食塩水の質量} \times 100

式が二つあるのは、分母の違いで、混ぜる前と後の違いです。

混ぜる前は「食塩+水」、混ぜた後は「食塩水」なので。

補足ですが、×100は置いておくと、濃度とは  \dfrac{一部}{全部}の「分数」だということを押さえておいてください。

これ、結構 大事です!

「一部」とは食塩だけ、「全部」とは食塩も水も。

濃度とは  \dfrac{一部}{全部}の「分数」なんです、これ暗記。

 

出題ミス

もう一度 公式を見てもらうと、「質量」と出てきます。

先に触れましたが、問題文には質量がないので、はっきりした答えは求められません…。

求めるには、(普通は)質量を知る必要があります。

 

つまり、濃度とは「質量の分数」

そもそも、分数って分母が揃っていないと足せませんでしたよね。

   \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{1+1}{2+3}

これは大丈夫ですよね。

分数は(通分しないまま)足し合わせることはできないんです。

となると、質量の分数である濃度も足し合わせることができません

重ねて言いますが、濃度は足し合わせることができないんです、もともと分数だから。

 

にもかかわらず6%

それでも、①12%にはなりません。

数字だけ追いかけると見えにくいのですが、冷静に「濃さ」を考えてみてください。

濃い食塩水(8%)に薄い食塩水(4%)を混ぜて、さらに濃く(12%)なることはありません。

直感を働かせれば、濃いもの(8%)と薄いもの(4%)を混ぜるから、ちょっと薄まって②6%を選べませんか。

 

図にして考え直すと

その直感をもう少し「見えるかたち」にしてみます。

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こんな濃度の天秤(てんびん)を考えてください。

4%と8%の天秤のちょうど つりあいの位置が6%になると思います。

薄い4%と濃い8%を混ぜて、6%に つりあうと考えてみてください。

とりあえず今は4%も8%も同じ質量として描いてみました。

でも、もしかしたら、4%と8%は同じ質量ではないかもしれませんよね。

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それでも つりあいの位置を見つければいいんです。

つりあいの位置は「てこの原理」で見つけられます。

ここでは、「支点との距離×質量」と考えてください。

左右で つりあっているのがわかりますか?

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計算すると、左辺(1×3)=右辺(3×1)です。

 

ひと まとめ

ここまでで、出題ミスと言った理由も、①12%にならない理由も なんとなく わかったと思います。

質量が示されていないため答えがはっきりしないこと、つりあいの位置が12%にはならないことを押さえてください。

 

改めて問題の設定

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4%の食塩水を300gと8%の食塩水を100g 混ぜたら何%の食塩水になるでしょう?

 

解答

今度は質量が示されているので、正しく計算すれば答えが出ます。

ただし、公式どおりに求めると大変 複雑な計算になるんです。

どれくらい複雑かというと、

  \displaystyle \left\{ \dfrac {4}{100} \times 300+\dfrac{8}{100} \times 100 \right\} \div 400 \times 100

   = \dfrac {12+8}{400} \times 100 =5 [%]

食塩の重さに変換してから求めているんですが、その説明は割愛します。

ここで、濃度の天秤を思い出してください。

つりあいの位置を見つければいいんですよね。

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左辺(1×300)=右辺(3×100)とすれば、5%になりますよね。

とりあえず答えが出せればいい場合は、濃度の天秤が使えると思います。

 

あとがき

ちょっとでも わかったつもりになれば、この記事は目的達成と思って書いています。

ですが、実際に小中生をみていると、あと2~3問くらい練習しないと使いこなすことはできないようです。

練習問題として、2問 出しておきます。

2%の食塩水を200gと8%の食塩水を100g 混ぜたら何%の食塩水になるでしょう?

2%の食塩水を75gと8%の食塩水を150g 混ぜたら何%の食塩水になるでしょう?

答えは 上が4%、下が6%ですが、比を使えば少し楽に求められますよ。

他にも、ネット上で検索すればヒットするはずです。

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