さつま芋 の日記

英語の勉強と算数のコラムを中心に発信していきます。復習しない勉強を目指しています。

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この問題を作った人、あんたすごいよ! 計算

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趣味で算数

趣味で勉強をしてみると、強制では感じられない楽しさの発見があります。

今回は、自分のお気に入りの問題を紹介したいと思います。

時間のある人は、紙と鉛筆を用意して考えてみてください。

 

問題

計算してください。

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ヒントと一言

これも有名問題だと思います。

 

一応、ヒントを出しておきます。

相殺できるように式変形をしてください。

 

お約束の一言ですが、この問題を作った人、あんたすごいよ!

 

 

解答(1)

 \dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3}+\dotsc +\dfrac{1}{7 \times 8}+\dfrac{1}{8 \times 9}

 

知らないとできない計算問題です。

 

部分分数の分解って呼ばれる方法で、掛け算から引き算に持ち込むことができます。

 \dfrac{1}{1 \times 2} を具体例として変形してみます。

  \dfrac{1}{1 \times 2} = \dfrac{2-1}{1 \times 2} = \dfrac{2}{1 \times 2} - \dfrac{1}{1 \times 2} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}

 

 \dfrac{1}{2 \times 3} で、もう一つやってみます。

  \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac{3-2}{2 \times 3} = \dfrac{3}{2 \times 3} - \dfrac{2}{2 \times 3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}

 

どのように掛け算から引き算になったかを確認してください。

これを続けてみると次のようになります。

 

  \dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3}+\dotsc +\dfrac{1}{7 \times 8}+\dfrac{1}{8 \times 9}

 =   (\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}) +(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}) + \dotsc + (\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{8}) +(\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{9})

 =   \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dotsc + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{9}

 =   \dfrac{1}{1} + ( - \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dotsc + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}) - \dfrac{1}{9}

 =   \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{9}

 =   \dfrac{9}{9} - \dfrac{1}{9}

 =   \dfrac{8}{9} 

 

 

解答(2)

 (2)  \dfrac{1}{1 \times 2 \times 3}+\dfrac{1}{2 \times 3 \times 4}+\dotsc +\dfrac{1}{7 \times 8 \times 9}

 

これも部分分数の分解をするのですが、少し工夫が必要です。

 

 \dfrac{1}{1 \times 2 \times 3} を例に、変形してみます。

  \dfrac{1}{1 \times 2 \times 3} = \dfrac{3-1}{1 \times 2 \times 3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{3}{1 \times 2 \times 3} - \dfrac{1}{1 \times 2 \times 3})

  =\dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{1 \times 2} - \dfrac{1}{2 \times 3})  

 

 \dfrac{1}{2 \times 3 \times 4} で、もう一つやってみます。

  \dfrac{1}{2 \times 3 \times 4} = \dfrac{4-2}{2 \times 3 \times 4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{4}{2 \times 3 \times 4} - \dfrac{2}{2 \times 3 \times 4})

  =\dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{2 \times 3} - \dfrac{1}{3 \times 4})  

 

これを続けてみると次のようになります。

 

  \dfrac{1}{1 \times 2 \times 3}+\dfrac{1}{2 \times 3 \times 4}+\dotsc +\dfrac{1}{7 \times 8 \times 9}

  = \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{1 \times 2} - \dfrac{1}{2 \times 3}) + \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{2 \times 3} - \dfrac{1}{3 \times 4}) +\dotsc

  + \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{7 \times 8} - \dfrac{1}{8 \times 9})

  = \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{1 \times 2} - \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{2 \times 3} - \dfrac{1}{3 \times 4}+\dotsc +\dfrac{1}{7 \times 8} - \dfrac{1}{8 \times 9})

  = \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{1 \times 2} - \dfrac{1}{8 \times 9})

  = \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{72})

  = \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{36}{72} - \dfrac{1}{72})

  = \dfrac{1}{2} \cdot  \dfrac{35}{72}

  = \dfrac{35}{144}

 

2017/12/5 23:12

 

あとがき

こんな計算は公立の小学校では習わないと思います。

でも、習わないと できない計算です。

なーんか教育格差も感じちゃうんですよね…

 

 

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