この問題を作った人、あんたすごいよ！　計算

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趣味で算数

趣味で勉強をしてみると、強制では感じられない楽しさの発見があります。

今回は、自分のお気に入りの問題を紹介したいと思います。

時間のある人は、紙と鉛筆を用意して考えてみてください。

問題

計算してください。

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ヒントと一言

これも有名問題だと思います。

一応、ヒントを出しておきます。

相殺できるように式変形をしてください。

お約束の一言ですが、この問題を作った人、あんたすごいよ！

解答(1)

$\dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3}+\dotsc +\dfrac{1}{7 \times 8}+\dfrac{1}{8 \times 9}$

知らないとできない計算問題です。

部分分数の分解って呼ばれる方法で、掛け算から引き算に持ち込むことができます。

$\dfrac{1}{1 \times 2}$ を具体例として変形してみます。

　 $\dfrac{1}{1 \times 2} = \dfrac{2-1}{1 \times 2} = \dfrac{2}{1 \times 2} - \dfrac{1}{1 \times 2} = \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{1}{2 \times 3}$ で、もう一つやってみます。

　 $\dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac{3-2}{2 \times 3} = \dfrac{3}{2 \times 3} - \dfrac{2}{2 \times 3} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}$

どのように掛け算から引き算になったかを確認してください。

これを続けてみると次のようになります。

　 $\dfrac{1}{1 \times 2}+\dfrac{1}{2 \times 3}+\dotsc +\dfrac{1}{7 \times 8}+\dfrac{1}{8 \times 9}$

　= $(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}) +(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}) + \dotsc + (\dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{8}) +(\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{9})$

　= $\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dotsc + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{9}$

　= $\dfrac{1}{1} + ( - \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \dotsc + \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8}) - \dfrac{1}{9}$

　= $\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{9}$

　= $\dfrac{9}{9} - \dfrac{1}{9}$

　= $\dfrac{8}{9}$

解答(2)

　(2)　 $\dfrac{1}{1 \times 2 \times 3}+\dfrac{1}{2 \times 3 \times 4}+\dotsc +\dfrac{1}{7 \times 8 \times 9}$

これも部分分数の分解をするのですが、少し工夫が必要です。

$\dfrac{1}{1 \times 2 \times 3}$ を例に、変形してみます。

　 $\dfrac{1}{1 \times 2 \times 3} = \dfrac{3-1}{1 \times 2 \times 3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{3}{1 \times 2 \times 3} - \dfrac{1}{1 \times 2 \times 3})$

　 $=\dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{1 \times 2} - \dfrac{1}{2 \times 3})$

$\dfrac{1}{2 \times 3 \times 4}$ で、もう一つやってみます。

　 $\dfrac{1}{2 \times 3 \times 4} = \dfrac{4-2}{2 \times 3 \times 4} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{4}{2 \times 3 \times 4} - \dfrac{2}{2 \times 3 \times 4})$

　 $=\dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{2 \times 3} - \dfrac{1}{3 \times 4})$

これを続けてみると次のようになります。

　 $\dfrac{1}{1 \times 2 \times 3}+\dfrac{1}{2 \times 3 \times 4}+\dotsc +\dfrac{1}{7 \times 8 \times 9}$

　 $= \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{1 \times 2} - \dfrac{1}{2 \times 3}) + \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{2 \times 3} - \dfrac{1}{3 \times 4}) +\dotsc$

　 $+ \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{7 \times 8} - \dfrac{1}{8 \times 9})$

　 $= \dfrac{1}{2} \cdot ( \dfrac{1}{1 \times 2} - \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{2 \times 3} - \dfrac{1}{3 \times 4}+\dotsc +\dfrac{1}{7 \times 8} - \dfrac{1}{8 \times 9})$