京大数学2018理系
指導者ではなく受験者の立場で,下書きから答案にいたる過程を記してみます.
答案には不要なコメントなどもしながら,ともに学んで行きたいです.
問題
確か,放物線が接する問題は何年か前にも出題されていたと思います.
下書き答案(1)
さて放物線ですが,係数によって上に凸なのか,下に凸なのかが変わります.
条件(i)より、 > 0 がわかります.
下書きするとすれば,次のようなグラフです.
イメージが掴めたところで,導関数を求め,接点の 座標を として連立方程式を作ります.
ここで, より、 を押さえておきます.
続いて, 座標から方程式を作ります.
と を用いて表すわけですから, が使えないことに注意します.
ここで, より、 を押さえておきます.
ここから, を求めていきます.
あとは接点の 座標を求めるだけです.
よって、求める接点は.
下書き答案(2)
接点を とします.
と を見比べると,分数を使って を消去できそうです.
後はこれらを条件(i)に代入します.
この手の図示には大抵 除外すべき領域がつきものです。
そんな視点で見直すと, が見当たります。
私は見落としたのですが、 もあります。
以上をまとめて、図示すると次のようになります。
ただし, と .
まとめ
毎年,大問1は(京大としては)易しめの問題が出ています.
噂では,部分点はほとんど与えられず,完答が求められます.
私の見落とし のように,模範解答を見れば「あ そっか!」となることには,単なるミスだけではなく,知識の欠如もあると思うんです.
私が伝えられるのはここまでですが,もしお気づきの点があれば,ぜひ御教授ください.