さつま芋の勉強日記

投機の勉強記録を中心に発信しています。

思考過程を辿る京大数学　2018理系大問3

数学

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京大数学2018理系

指導者ではなく受験者の立場で，下書きから答案にいたる過程を記してみます．

答案には不要なコメントなどもしながら，ともに学んで行きたいです．

問題

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平面幾何の問題です。

下書き答案

当然ですが，問題把握のために図を描くのが第一歩です．

私が描いたのは次．

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ここで，位置取りをうっかり間違えないように確認しました．

とりあえず，等脚台形ってことがわかります．

おそらく，その証明は要らないと思います．

余力があれば書けばいいのではないでしょうか．

最初の時点で，半径が与えられているので正弦定理を使うこと， $k$ に4辺が絡んでいるのでトレミーの定理を使うことを予感しました。

$k$ の最大値を求めることから，1変数にするのが考えられるため，共通している $AD=BC=l$ としました．

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正弦定理より

　 $2 \cdot 1 = \dfrac{AC}{sin \alpha} = \dfrac{BD}{sin \alpha}$

　 $\therefore AC=BD=2sin\alpha$

トレミーの定理より

　 $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA$

　 $4sin^{2}\alpha = AB \cdot CD + l^{2}$

　 $\therefore AB \cdot CD = 4sin^{2}\alpha - l^{2}$

これらより

　 $k = \{4sin^{2}\alpha - l^{2}\}l^{2}$

あわせて $l$ の条件もみておくと，

　0 < $l$ < 2

あとは $k$ を $l$ の関数として最大値を考えます．

計算の手間を考えて， $L=l^{2}$ ( 0 < $L$ < 4) とします．

　 $k = l^{2} ( 4sin^{2}\alpha - l^{2})$

　 $= L ( 4sin^{2}\alpha - L)$

　 $= -(L - 2sin^{2}\alpha)^{2}+4sin^{4}\alpha$

求める $k$ の最大値は $L = 2sin^{2} \alpha$ ，つまり $l = \sqrt{2}sin \alpha$ のとき， $\boldsymbol{4sin^{4}\alpha}$

まとめ

トレミーの定理を使ったせいか，解答が短くまとまってしまうことに少々不安があります．

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