さつま芋 の日記

英語の勉強と算数のコラムを中心に発信していきます。復習しない勉強を目指しています。

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思考過程を辿る京大数学 2018理系大問3

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京大数学2018理系

指導者ではなく受験者の立場で,下書きから答案にいたる過程を記してみます.

答案には不要なコメントなどもしながら,ともに学んで行きたいです.

 

問題

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平面幾何の問題です。

 

スタディサプリLIVE

 

下書き答案

当然ですが,問題把握のために図を描くのが第一歩です.

私が描いたのは次.

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ここで,位置取りをうっかり間違えないように確認しました.

とりあえず,等脚台形ってことがわかります.

おそらく,その証明は要らないと思います.

余力があれば書けばいいのではないでしょうか.

 

最初の時点で,半径が与えられているので正弦定理を使うこと, k に4辺が絡んでいるのでトレミーの定理を使うことを予感しました。

 

 k の最大値を求めることから,1変数にするのが考えられるため,共通している AD=BC=l としました. 

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正弦定理より

  2 \cdot 1 = \dfrac{AC}{sin \alpha} =  \dfrac{BD}{sin \alpha}

  \therefore AC=BD=2sin\alpha

 

レミーの定理より

  AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot DA

  4sin^{2}\alpha = AB \cdot CD + l^{2}

  \therefore AB \cdot CD = 4sin^{2}\alpha - l^{2}

 

これらより

  k = \{4sin^{2}\alpha - l^{2}\}l^{2} 

あわせて  l の条件もみておくと,

 0 <  l < 2

 

あとは  k l の関数として最大値を考えます.

計算の手間を考えて, L=l^{2} ( 0 <  L < 4) とします. 

  k = l^{2} ( 4sin^{2}\alpha - l^{2})

  = L ( 4sin^{2}\alpha - L)

  = -(L - 2sin^{2}\alpha)^{2}+4sin^{4}\alpha

 

求める  k の最大値は   L = 2sin^{2} \alpha ,つまり  l = \sqrt{2}sin \alpha のとき,\boldsymbol{4sin^{4}\alpha}

 

 

まとめ

 

レミーの定理を使ったせいか,解答が短くまとまってしまうことに少々不安があります.

 

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