さつま芋の絵日記

英語の勉強記録と似顔絵を中心に発信しています。

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思考過程を辿る京大数学 2018理系大問5(1)

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京大数学2018理系

指導者ではなく受験者の立場で,下書きから答案にいたる過程を記してみます.

答案には不要なコメントなどもしながら,ともに学んで行きたいです.

 

問題

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見たまま、微積の問題です.

 

スタディサプリ高校・大学受験講座

 

下書き答案(1)

とりあえず関数を図示しました.

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まず導関数を求め,法線の傾き(  g^{\prime}(t) とする)を求めます.

  f^{\prime}(x) =\dfrac{1}{x}

よって直行条件(  f^{\prime}(t) \times g^{\prime}(t)=-1 )より接線の傾きは,

  g^{\prime}(t) = -t

 

座標を求めるのに,法線の方程式を作ってもいいんですが,比を使うほうが楽そうです.

あとは次の図を描いて  u(t), v(t) を求めます.

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  \boldsymbol{u(t)=t+\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}} 

  \boldsymbol{v(t)=\log{x}-\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}} 

 

さらに,これらをそれぞれ微分します.

その前に,下準備をしました.

  (\sqrt{t^2+1})^{\prime}=\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}2t=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}

  (\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}})^{\prime}=-\dfrac{1}{t^2+1}\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}=-\dfrac{t}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}

  (\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}})^{\prime}=\dfrac{1}{t^2+1}\{\sqrt{t^2+1}-\dfrac{t \cdot t}{\sqrt{t^2+1}}\}=\dfrac{1}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}

 

その上で微分していきます.

  u(t)=t+\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}

  \boldsymbol{\dfrac{du}{dt}=1-\dfrac{t}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}} 

 

  v(t)=\log{x}-\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}} 

  \boldsymbol{\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}} 

私は この時点では気付かなかったですが,

  \therefore \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{1}{t}\dfrac{du}{dt}

の関係があります.

 

スタディサプリLIVE

 

まとめ

解法は ほとんど一本道です.

私,分母にルートが入った微分は苦手です.

計算ミスを防ぐために,上のように部分ごとに計算するようにしています. 

 

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