さつま芋の絵日記

英語の勉強記録と似顔絵を中心に発信しています。

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思考過程を辿る京大数学 2018理系大問5(2)

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京大数学2018理系

指導者ではなく受験者の立場で,下書きから答案にいたる過程を記してみます.

答案には不要なコメントなどもしながら,ともに学んで行きたいです.

 

問題

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今回は問題(2)です.

 

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スタディサプリ高校・大学受験講座

 

(1)のおさらい

一応,概形の確認しておきます.

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(1)で求めた答えは次の通り.

  

  u(t)=t+\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}

  \boldsymbol{\dfrac{du}{dt}=1-\dfrac{t}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}} 

 

  v(t)=\log{x}-\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}} 

  \boldsymbol{\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}} 

  \therefore \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{1}{t}\dfrac{du}{dt}

 

スタディサプリLIVE

 

下書き答案(2)

基本的に計算力です.

ただし,  \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{1}{t}\dfrac{du}{dt} に気づかないと時間内には解ききることができないと思います.

 

  L_{1}= \int ^{1}_{r}\sqrt{1+(\dfrac{dy}{dx})^{2}}dx

  = \int ^{1}_{r}\sqrt{1+(\dfrac{1}{t})^{2}}dt

 

  L_{2}= \int ^{1}_{r}\sqrt{(du)^{2}+(dv)^{2}}

  = \int ^{1}_{r}\sqrt{(\dfrac{du}{dt})^{2}+(\dfrac{dv}{dt})^{2}}dt

  = \int ^{1}_{r}\sqrt{(1+(\dfrac{1}{t})^{2}}\dfrac{du}{dt}dt

 

  L_{1}- L_{2}= \int ^{1}_{r}\sqrt{1+(\dfrac{1}{t})^{2}}(1-\dfrac{du}{dt})dt

  = \int ^{1}_{r}\sqrt{1+\dfrac{1}{t^{2}}}\dfrac{t}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}dt

  = \int ^{1}_{r}\dfrac{1}{t^{2}+1}dt

 

ここで, t=tan \theta と置換積分する.

 r=tan \theta_r とすると,

  t : r \rightarrow 1 のとき, \theta : \theta_r \rightarrow \frac{\pi}{4} 

  dt=(t^{2}+1)d\theta 

  \int ^{1}_{r}\dfrac{1}{t^{2}+1}dt= \int ^{\frac{\pi}{4}}_{\theta_r}d \theta=\dfrac{\pi}{4}-\theta_r

 

よって,

  \displaystyle \lim_{r \rightarrow +0} (L_{1}(r)-L_{2}(r))=\lim_{r \rightarrow +0} (\frac{\pi}{4}-\theta_r)=\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}

 

まとめ

解法は ほとんど一本道です.

分母にルートが入った積分って京大数学ではチョイチョイ見かけます.

計算ミスを防ぐために,このタイプは積分結果を覚えておくとよいのではないでしょうか. 

 

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