さつま芋の勉強日記

投機の勉強記録を中心に発信しています。

思考過程を辿る京大数学　2018理系大問5(2)

数学

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京大数学2018理系

指導者ではなく受験者の立場で，下書きから答案にいたる過程を記してみます．

答案には不要なコメントなどもしながら，ともに学んで行きたいです．

問題

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今回は問題(2)です．

(1)のおさらい

一応，概形の確認しておきます．

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(1)で求めた答えは次の通り．

　 $u(t)=t+\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}$

　 $\boldsymbol{\dfrac{du}{dt}=1-\dfrac{t}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}}$

　 $v(t)=\log{x}-\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}$

　 $\boldsymbol{\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}}$

　 $\therefore \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{1}{t}\dfrac{du}{dt}$

下書き答案(2)

基本的に計算力です．

ただし， $\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{1}{t}\dfrac{du}{dt}$ に気づかないと時間内には解ききることができないと思います．

　 $L_{1}= \int ^{1}_{r}\sqrt{1+(\dfrac{dy}{dx})^{2}}dx$

　 $= \int ^{1}_{r}\sqrt{1+(\dfrac{1}{t})^{2}}dt$

　 $L_{2}= \int ^{1}_{r}\sqrt{(du)^{2}+(dv)^{2}}$

　 $= \int ^{1}_{r}\sqrt{(\dfrac{du}{dt})^{2}+(\dfrac{dv}{dt})^{2}}dt$

　 $= \int ^{1}_{r}\sqrt{(1+(\dfrac{1}{t})^{2}}\dfrac{du}{dt}dt$

　 $L_{1}- L_{2}= \int ^{1}_{r}\sqrt{1+(\dfrac{1}{t})^{2}}(1-\dfrac{du}{dt})dt$

　 $= \int ^{1}_{r}\sqrt{1+\dfrac{1}{t^{2}}}\dfrac{t}{(t^2+1)^{\frac{3}{2}}}dt$

　 $= \int ^{1}_{r}\dfrac{1}{t^{2}+1}dt$

ここで， $t=tan \theta$ と置換積分する．

$r=tan \theta_r$ とすると，

　 $t : r \rightarrow 1$ のとき， $\theta : \theta_r \rightarrow \frac{\pi}{4}$

　 $dt=(t^{2}+1)d\theta$

　 $\int ^{1}_{r}\dfrac{1}{t^{2}+1}dt= \int ^{\frac{\pi}{4}}_{\theta_r}d \theta=\dfrac{\pi}{4}-\theta_r$

よって，

　 $\displaystyle \lim_{r \rightarrow +0} (L_{1}(r)-L_{2}(r))=\lim_{r \rightarrow +0} (\frac{\pi}{4}-\theta_r)=\boldsymbol{\frac{\pi}{4}}$

まとめ

解法はほとんど一本道です．

分母にルートが入った積分って京大数学ではチョイチョイ見かけます．

計算ミスを防ぐために，このタイプは積分結果を覚えておくとよいのではないでしょうか．

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