さつま芋の勉強日記

投機の勉強記録を中心に発信しています。

思考過程を辿る京大数学　2018理系大問4

数学

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京大数学2018理系

指導者ではなく受験者の立場で，下書きから答案にいたる過程を記してみます．

答案には不要なコメントなどもしながら，ともに学んで行きたいです．

問題

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複素数というより確率の問題です．

下書き答案

複素数が出てきたので，とりあえず複素平面を描いてみました．

こんな感じに．

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結局，3か所を移動することがわかります．

次のように $P, Q, R$ として、遷移を考えます．

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　 $P_{k}=\dfrac{1}{2}P_{k-1}+\dfrac{1}{2}R_{k-1}$

　 $Q_{k}=\dfrac{1}{2}P_{k-1}+\dfrac{1}{2}R_{k-1}$

　 $R_{k}=Q_{k-1}$

　 $\therefore P_{k}=Q_{k}$

あとはこの確率漸化式を解いて $P_{n}$ を求めるだけです．

$P_{k}+Q_{k}+R_{k}=1$ を使うと多少計算が楽になります．

　 $P_{k}=\dfrac{1}{2}P_{k-1}+\dfrac{1}{2}R_{k-1}$

　 $=\dfrac{1}{2}(1-Q_{k-1})$

　 $=\dfrac{1}{2}(1-P_{k-1})$

特殊解（特性方程式）を求めると

　 $P=\dfrac{1}{2}(1-P)$

　 $\dfrac{3}{2}P=\dfrac{1}{2}$

　 $\therefore P=\dfrac{1}{3}$

$k \geqq 2$ のとき

　 $P_{k}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}(P_{k-1}-\dfrac{1}{3})$

　 $=(-\dfrac{1}{2})^{k-1}(P_{1}-\dfrac{1}{3})$

　 $=(-\dfrac{1}{2})^{k-1}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})$

　 $=(-\dfrac{1}{2})^{k-1}\cdot\dfrac{1}{6}$

　 $=-(-\dfrac{1}{2})^{k}\cdot\dfrac{1}{3}$

　 $\therefore P_{k}=\dfrac{1}{3}\{1-(-\dfrac{1}{2})^{k}\}$

これは $k = 1$ のときも成立する．

以上より，

　 $\boldsymbol{P_{n}=\dfrac{1}{3}\{1-(-\dfrac{1}{2})^{n}\}}$

まとめ

確率漸化式は去年も一昨年も出題されました．

そういう意味で落とせない問題だったと思います．

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