京大数学2018理系
指導者ではなく受験者の立場で,下書きから答案にいたる過程を記してみます.
答案には不要なコメントなどもしながら,ともに学んで行きたいです.
問題
京大では頻出の整数問題です.
下書き答案
一般に,京大の整数問題では,いわゆる試行が必要です.
試行といっても数字を代入するだけの作業ですが….
とおいて代入してみます.
勘のいい人なら これくらいで法則を見つけるのかもしれませんが,私にはわかりませんでした.
さらに代入してみました.
ここでようやく,3の倍数かも…と思いました.
仮に 3の倍数であれば, が素数となるのは3だけです.
ただ,ぱっとみて3の倍数には見えません.
そこで,むりやり式変形してみました.
連続する3つの整数の積 は3の倍数なので, は3の倍数であることがわかります.
問題は が素数3となるときの をすべて求めることだから,上に書いたメモを見て, だとわかります.
は3次式だから計算不要ですが, として一応確認してみます.
因数定理より,
まとめ
この問題では,3の倍数に どれだけ早く気付くかが鍵だと思います.
演習量という経験も必要ですが,ひょっとして…と推測する訓練も欠かせません.