さつま芋 の日記

英語の勉強と算数のコラムを中心に発信していきます。復習しない勉強を目指しています。

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思考過程を辿る京大数学 2018理系大問2

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京大数学2018理系

指導者ではなく受験者の立場で,下書きから答案にいたる過程を記してみます.

答案には不要なコメントなどもしながら,ともに学んで行きたいです.

 

問題

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京大では頻出の整数問題です.

 

下書き答案

一般に,京大の整数問題では,いわゆる試行が必要です.

試行といっても数字を代入するだけの作業ですが….

 f(n) = n^{3}-7n+9とおいて代入してみます.

  f(0) = 9

  f(1) = 1^{3}-7\cdot 1+9 = 3

  f(2) = 2^{3}-7\cdot 2+9 = 8-14+9 = 3

  f(3) = 3^{3}-7\cdot 3+9 = 27-21+9 = 15

勘のいい人なら これくらいで法則を見つけるのかもしれませんが,私にはわかりませんでした.

 

さらに代入してみました.

  f(-1) = -1^{3}-7\cdot (-1)+9 = 15

  f(-2) = -2^{3}-7\cdot (-2)+9 = -8+14+9 = 15

  f(-3) = -3^{3}-7\cdot (-3)+9 = -27+21+9 = 3

ここでようやく,3の倍数かも…と思いました.

 

仮に 3の倍数であれば, f(n)素数となるのは3だけです.

ただ,ぱっとみて3の倍数には見えません.

そこで,むりやり式変形してみました.

  f(n) = n^{3}-7n+9 = n^{3}-n-6n+9

  = (n-1)n(n+1)-3(2n-3)

連続する3つの整数の積  (n-1)n(n+1) は3の倍数なので, f(n) は3の倍数であることがわかります.

 

問題は  f(n)素数3となるときの n をすべて求めることだから,上に書いたメモを見て,n = 1, 2, -3 だとわかります.

 f(n) は3次式だから計算不要ですが, f(n)=3 として一応確認してみます.

  n^{3}-7n+9=3 

  n^{3}-7n+6=0 

因数定理より,

  (n-1)(n^{2}+n-6)=0 

  (n-1)(n-2)(n+3)=0 

 \boldsymbol{n = 1, 2, -3}

 

まとめ

この問題では,3の倍数に どれだけ早く気付くかが鍵だと思います.

演習量という経験も必要ですが,ひょっとして…と推測する訓練も欠かせません.

 

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