さつま芋の絵日記

英語の勉強記録と似顔絵を中心に発信しています。

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頭の体操 階段上り

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問題1

5段の階段を上ります。

一度に上れるのは、1段か2段です。

全部で何通りの上り方ができるでしょうか?

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答え1

8通りです。

 

数えるだけですが、漏れや重複なく正しく計数するにはコツがあります。

それは、整理です。

記号や規則を上手く使うことが大切です。

ここでは、例に挙げた上り方を(①①②①)と表すことにします。

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まず、(①①①①①)で1通り。

 

次に、

①①①)

(①①①)

(①①①)

(①①①

の4通り。

 

続いて、

②②)

(②②)

(②②

の3通り。

 

上り方の総数は、1+4+3=8となります。

 

勉強サプリ

 

問題2

10段の階段を上ります。

一度に上れるのは、1段か2段です。

全部で何通りの上り方ができるでしょうか?

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答え2

80通りです。

答え1と同じように計数してもいいんですけど、80通りだと なかなか骨が折れそうです。

きっと、途中で心も折れる…。

 

ここで、賢い人が次のように考えたんです。

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(人のいる)2段目を基準に考えたら、1段目(赤)を通るか通らないかの2通り。

言い換えると、1つ前と2つ前の合計だ、と。

 

1段目の経路を  a_1 とすると、 a_1=1 です。

2段目の経路を  a_2 とすると、図のように、 a_2=2 です。

 

3段目の経路  a_3 は、2段目の経路  a_2 と1段目の経路  a_1 の合計なので、

   a_3=a_2+a_1=2+1=3

 

順々に計算してみると、

  a_4=a_3+a_2=3+2=5

  a_5=a_4+a_3=5+3=8

問題1の答えと一致します。

 

さらに続けていくと、

  a_6=a_5+a_4=8+5=13

  a_7=a_6+a_5=13+5=18

  a_8=a_7+a_6=18+13=31

  a_9=a_8+a_7=31+18=49

  a_{10}=a_9+a_8=49+31=80

 

上り方の総数は、80となります。

 

 

まとめ

単純にみえる計数ですが、乱暴に数えず、少し工夫するとミスが減らせると思います。

 

大学受験をする人は、場合分けの考え方(問題2)も押さえておくといいのではないでしょうか。

 

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